Suite géométrique de matrices colonnes (1)

Énoncé

Soit la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1&1\\2&-1 \end{pmatrix}\) . On définit la suite de matrices colonnes  \((U_n)_{n\in\mathbb{N}}\)  par :  \(U_0=\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\)  et, pour tout  \(n \in \mathbb{N}, U_{n+1}=AU_n\) .

1. Calculer les 3 premiers termes de cette suite.

2. Exprimer  \(U_n\)  en fonction de  \(n\)  et de  \(A\) .

3. Calculer  \(A^2\) .

4. Soit \(k\in\mathbb{N}\) , en déduire une formule explicite de  \(U_{2k}\)  puis une formule explicite de  \(U_{2k+1}\) .

5. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.